ХАОС: ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

♦August 2013 ♦

Теория хаоса была разработана французским математиком Анри Пуанкаре в начале XX века. Теория хаоса — это математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос. Поведение такой системы кажется случайным даже если модель, описывающая систему, является детерминированной. Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления, обычно принято использовать название: теория динамического хаоса.

Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, некоторые виды аритмий сердца, биологические популяции, общество.

Хороший пример динамической системы — простой маятник. Его движение задаётся всего двумя переменными: положением и скоростью. Таким образом, его состояние — это точка на плоскости, координаты которой — положение маятника и его скорость. Эволюция состояния описывается правилом, которое выводится из законов Ньютона и выражается математически в виде дифференциального уравнения. Когда маятник качается взад–вперёд, его состояние, точка на плоскости, движется по некоторой траектории («орбите»). В идеальном случае маятника без трения орбита представляет собой петлю, при наличии трения орбита закручивается по спирали к некоторой точке, соответствующей остановке маятника.

маятник как динамическая система с орбитой

маятник как динамическая система с орбитой

Хаотические системы делятся на диссипативные (устойчивое состояние, возникающее в неравновесной среде при условии диссипации (рассеивания) энергии, которая поступает извне) и консервативные (с сохранением энергии). В природе наиболее часто встречаются диссипативные системы.

Поскольку такие системы теряют энергию постоянно, их фазовое пространство, т.е. пространственная территория, где развивается система — трансформируется в определенное состояние, которое называется аттрактором системы. Аттракторы — это геометрические структуры, характеризующие поведение системы в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Грубо говоря, аттрактор — это то, к чему система стремится прийти, к чему она притягивается. Аттрактором может быть единичная точка или набор точек. К хаотическим системам относится и известный «эффект бабочки», описанный Эдвардом Лоренцем. Любое маленькое изменение начальных значений в переменных системы вызывает совершенно другую последовательность выходных значений.

Далее рассмотрим основные виды хаотических систем и попытаемся произвести картирование смоделированных при помощи нелинейных уравнений числовых значений в пространство музыкальных событий.

Математические уравнения, описывающие поведение хаотических систем парадоксально просты — они носят название нелинейных уравнений, то есть имеющих бесконечное множество решений.

Одномерные хаотические системы

Логистическое уравнение было впервые введено бельгийским социологом и математиком Пьером Франсуа Ферхюльстом в 1845 году для моделирования роста численности популяции:

,где

Ключевым параметром в этом уравнении является — он определяет поведение системы в долгосрочном периоде. Выходные значения логистического уравнения зависят от значения — для меньше 3, система стабилизируется к одному значению. При возрастании — к двум значениям, и так до достижения критического значения 3,569946, когда система становится непредсказуемой. Точно так же, взяв в качестве пространства музыкальных событий две октавы, мы можем назначать выходным значениям определенные ноты. Например, взяв =3,3, мы получим, что система осциллируется между 0,48 и 0,82, что равняется повторению двух нот, взяв же четыре — мы получим непредсказуемое хаотическое движение системы между 0 и 1, что гораздо лучше подходит для составления мелодий.

Диаграмма бифуркации. Каждый вертикальный сектор показывает аттрактор определённого значения  . Диаграмма отображает удвоение периода, когда   увеличивается, что в конечном итоге производит хаос

Диаграмма бифуркации. Каждый вертикальный сектор показывает аттрактор определённого значения. Диаграмма отображает удвоение периода, когда увеличивается, что в конечном итоге производит хаос

аттрактор Лоренца

аттрактор Лоренца

Двумерные хаотические системы

Аттрактор Хенона был назван в честь его первооткрывателя Мишеля Хенона, французского астронома. Этот аттрактор не описывает никаких природных явлений и был создан как двумерная модель для диссипативных хаотических систем. Он выражен следующими уравнениями:

где параметры A и B — положительны.

 аттрактор Хенона

аттрактор Хенона

Другим двумерным аттрактором является аттрактор Гингербреда:

аттрактор Гингербреда

аттрактор Гингербреда

Также существует аттрактор Мартина, предложенный английским ученым Барри Мартином. Изображение аттрактора Мартина представлено на рисунке при значении равном .

аттрактор Мартина

аттрактор Мартина

Для картирования параметров двумерных аттракторов в пространство музыкальных событий предлагается следующая цепочка действий. Поскольку каждая итерация дает новое значения для , то выбор заключается либо в назначении различных музыкальных параметров этим переменным, например, нот и продолжительностей, либо в комбинировании двух переменных в одно значение — расстояние от начальных координат к текущей точке аттрактора по формуле:

После, получив длинную последовательность значений, мы можем подсчитать частоту появления тех или иных нот и на основании этого составить мелодию. Стоить заметить, что распределение нот при картировании параметров двумерных аттракторов дает распределение, крайне похожее на Гауссово.

Странные аттракторы

Помимо описанных регулярных аттракторов существует странные аттракторы. Странный аттрактор — это аттрактор, имеющий два существенных отличия от обычного аттрактора: траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Основным критерием хаотичности аттрактора является экспоненциальное нарастание во времени малых возмущений. Следствием этого является «перемешивание» в системе, непериодичность во времени любой из координат системы, сплошной спектр мощности и убывающая во времени автокорреляционная функция.

Таким аттрактором является аттрактор Лоренца, описываемый тремя уравнениями, и, соответственно, являющийся трехмерным:

Таким образом, получается хаотическая система, дающая на выходе три класса значений, которые могут быть назначены различным музыкальным параметрам.

♦ ИСТОЧНИКИ: ♦

  • Gerhard Nierhaus – Algorithmic composition – Paradigms of automated music generation – Springer-Verlag \ Wien 2009
  • Dynamical systems theory for music dynamicsJean Pierre Boon and Olivier Decroly Physique Nonlin´eaire et M´ecanique Statistique Universit´e libre de Bruxelles, Campus Plaine CP 231 B-1050 Bruxelles, Belgium (to appear in CHAOS)
  • В мире науки – Scientific American – Хаос – с.16-28 № 2 февраль 1987 ДЖЕЙМС П. КРАТЧФИЛД, ДЖ. ДОЙН ФАРМЕР, НОРМАН X. ПАККАРД, РОБЕРТ С. ШОУ