ХАОС: ФРАКТАЛЬНАЯ МУЗЫКА

♦July 2013 ♦

Фрактал (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.

Фрактал

Фрактал

Фрактал

Пример геометрических фракталов

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы», теория которой явилась ответом на попытки математиков выяснить причины использования природой одних и тех же форм, которые не могут быть объяснены с помощью традиционной геометрии: кораллы, морские ежи, кровеносная система или бронхи людей, кроны деревьев, снежинки и т.д. Как писал сам Мандельборт — «облака не являются сферами, горы — конусами, береговые линии — окружностями, даже траектории движения молний не являются прямыми».

Самым простым фракталом является знаменитая кривая Коха. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую потенциально бесконечной длины, называемую снежинкой Коха. Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части, и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д. Предельная кривая и есть кривая Коха.

Рисунок 30 — Снежинка Коха

Снежинка Коха

Другим, не менее известным фракталом, является множество Мандельброта. Несмотря на сложность его построения, оно базируется на одном уравнении:

,

где c — комплексное число, состоящее из . То есть, это множество таких c, для которых существует действительное R, что неравенство выполняется при всех натуральных n, а значение последовательности не уходит в бесконечность.

Таким образом, вышеуказанная последовательность может быть раскрыта для каждой точки c на комплексной плоскости следующим образом:

и так далее. Если переформулировать эти выражения в виде итеративной последовательности значений координат комплексной плоскости и ,т. е. заменив на , а на , мы получим:

Визуально, внутри множества Мандельброта можно выделить бесконечное количество элементарных фигур, причём самая большая в центре представляет собой кардиоиду. Также есть набор овалов, касающихся кардиоиды, размер которых постепенно уменьшается, стремясь к нулю. Каждый из этих овалов имеет свой набор меньших овалов, диаметр которых также стремится к нулю и т. д. Этот процесс продолжается бесконечно, образуя фрактал. Также важно, что эти процессы ветвления фигур не исчерпывают полностью множество Мандельброта: если рассмотреть с увеличением дополнительные «ветки», то в них можно увидеть свои кардиоиды и круги, не связанные с главной фигурой. Самая большая фигура (видимая при рассматривании основного множества) из них находится в области от −1,78 до −1,75 на отрицательной оси действительных значений.

Рисунок 31 — множество Мандельброта

множество Мандельброта

Картирование фрактальных параметров в музыкальные представляется довольно сложной задачей. Чаще всего метод заключается в вычислении значений итерации набора точек в одномерном фрагменте внутри двумерной структуры фрактала и последующем картировании этих значений в музыкальное пространство событий. Последовательность шагов может быть следующей:

  • Взять любые две точки внутри фрактального изображения, начальные (x,y) и конечные ( );
  • рассчитать значения итераций для точек, линейно лежащих в сегменте между (x,y ) и ( ) (чем больше точек мы берем, тем выше разрешение фрагмента);
  • картировать значения итераций этого набора точек в пространство музыкальных событий.
  • В качестве примера приведем метод, который описывает в своей диссертации Игорь Карача из Университета Огайо. Он картирует изображенный на рисeyrt yb;t треугольник Серпинского в дискретную версию, где 1 соответствует черным областям, а 0 — белым.

    дискретный вариант треугольника Серпинского

    дискретный вариант треугольника Серпинского

    Исходя из этого, он получает строку:

    1,2,3,4,2,4,4,8,2,

    которая трансформируется в ноты

    CDDFDFFCD

    Добавляя некоторый элемент ритма в эту маленькую последовательность, он предлагает убирать повторяющиеся ноты, f вместо них оставлять паузы. То есть, в итоге, финальная последовательность будет следующей:

    CD FDF CD

    Гораздо более сложным и интересным представляется переведение больших фрактальных структур в музыкальные композиции.

    ♦ ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ: ♦

  • Размерность Хаусдорфа — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.
  • Функция Вейерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной.
  • Ка́нторово мно́жество — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером «плохого множества» в математическом анализе. Описано в 1883 году Георгом Кантором.
  • Бенуа́ Мандельбро́т (фр. Benoît B. Mandelbrot; 1924 — 2010) — французский и американский математик, создатель фрактальной геометрии.
  • Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом.
  • Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году.
  • ♦ ИСТОЧНИКИ: ♦

  • Realtime Algorithmic Music Systems From Fractals and Chaotic Functions: Toward an Active Musical Instrument - Rubén Hinojosa Chapel - Diploma of Advanced Studies Doctorate in Computer Science and Digital Communication - Universitat Pompeu Fabra Barcelona, September 2003
  • RANDOM PRECISION: SOME APPLICATIONS OF FRACTALS AND CELLULAR AUTOMATA IN MUSIC COMPOSITION - Degree Doctor of Musical Arts - Igor Karaca, M.A. - The Ohio State University - 2005 6-15
  • Music and Mathematics From Pythagoras to Fractals CHAPTER 10 Composing with fractals - Robert SherlawJohnson 163-168 Oxford University Press -2003
  • Algorithmic Composition Daniel Aschauer January 29, 2008 50
  • B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature (San Francisco: W.H. Freeman, 1982)