Янис Ксенакис и стохастическая музыка
Первым человеком, использовавшим математический подход в музыке в качестве принципа ее сочинения, был французский архитектор и музыкант греческого происхождения Янис Ксенакис (1922–2001). По его словам, «с появлением электронных компьютеров композитор станет чем–то вроде пилота: ему останется нажимать кнопки, вводя координаты, и осуществлять контроль над путешествием корабля в пространстве музыки».
В 50–х последним словом авангардистской мысли был так называемый «сериализм» — сложнейшим образом устроенная музыка, которая воспринималась как акустический пуантилизм — то есть состояла из отдельных звуков, висящих в пустоте. На слух никакой логической связи между этими разнородными звуками обнаружить было невозможно, всё вместе производило впечатление бессистемного, визгливого и довольно разреженного акустического пара. Ксенакис написал статью «Кризис серийной музыки» против сериалистического метода и, разумеется, восстановил против себя весь европейский авангард. Свою мысль Ксенакис формулировал так: «Линеарная музыка сама себя разрушает своей сложностью, которая не позволяет слуху следить за сплетением линий, приводя в качестве макроскопического результата к бессмысленному и произвольному разбросу звуков на весь диапазон спектра».
Взамен Ксенакис предлагал свою философию: «Представьте себе огромную толпу возмущённого народа. Голоса сливаются в гул, из которого выделяются отдельные возгласы и крики. Толпа ведёт себя как единое целое, толпа дышит, растёт, движется. Можно ли создавать музыку, думая не об отдельных нотах и инструментах, но сразу — об общем эффекте, то есть проектировать звуковые массы с заранее заданными свойствами?».
Да, утверждал Ксенакис. Параметры отдельных звуков не имеют особого значения. Если слушатель воспринимает какой–то пассаж пьесы в качестве аморфного облака, то композитор так и должен его сочинять в виде аморфного облака, ориентируясь не на звучание отдельных микро–звуков, а на общий эффект, который вполне можно создать, прибегнув к математическим методам.
1. Свободная стохастическая музыка
Ксенакис дает название новой музыке — стохастическая, и приводит в пример природные явления. Звук дождя по крыше или пение цикад — звуковые явления, рассматриваемые как целое, но при этом состоящие из тысяч отдельных звуков. Эти тысячи звуков образуют гибкое целостное явление, пластичное во времени и следующее стохастическим законам. Поэтому если требуется смоделировать большое скопление точечных звуков, как, например, pizzicato, требуется знать эти законы, являющиеся кратким и сжатым выражением некоторой логической цепи.
Основные идеи его учения сформулированы в книге «Формализованная музыка — математические принципы музыкальной композиции».
Представление стохастической теории музыки Ксенакис начинает с разложения звука музыкального инструмента на независимые составляющие:
где – линейная плотность точек и – длительность любого отрезка.
где — средняя плотность, – искомая плотность, — основание неперовых логарифмов.
дающим закономерность того, что отрезок (интервал громкости, мелодический и т.д.), находящийся внутри отрезка, равного по длине a, имел бы длину в пределах между и при
Скорости — глиссандо. Для вычисления относительной частоты появления той или иной скорости , Ксенакис использует формулу, построенную на основе формул Максвелла–Больцмана для кинетической теории газа :Для того чтобы упорядочить процесс формирования музыкальной композиции Ксенакис вводит свою последовательность составления музыкальной композиции:
где — вероятность, с которой событие появляется I раз в единицу времени, — плотность событий.
Таким образом, разреженные звуковые события (мелодические фигуры, скопления звуков) формируют образец последовательности звуковых событий, и данный образец может быть представлен в виде матрицы, где клетки были бы заполнены частотами появления событий, строки были бы составлены согласно характерным особенностям событий, а столбцы — времени их появления. Распределение частот в этой матрице было бы произведено по формуле Пуассона, выражающей закон появления разреженных случайных событий.
Пример вектор–матрицы Ксенакиса изображен на рис.1. Средняя плотность событий выбрана 0,60 в единицу времени, количество ячеек исходя из количества инструментов — 196. Семь различных тембров дают 28 единиц времени. В данной матрице Ксенакис субъективно выбирает длину будущей композиции равной семи минутам, соответственно, единица времени исчисления будет равна 15 секундам. Таким образом, каждая будет содержать в себе 6,5 тактов в темпе, которые, в свою очередь, равны 26 M.M.
Исходя из закона Пуассона, Ксенакис вычисляет для данной сетки частоты повторения одинарных, двойных, тройных и четверных событий:
Для вычисления частоты распределения, например, одинарного события, Ксенакис вычисляет среднее арифметическое, производя деление 65 раз на 28 строк, и получает результат в 2,32 одинарных события на каждую ячейку. Затем Ксенакис снова применяет к полученной плотности формулу Пуассона, и снова вычисляет плотность распределения для каждого столбца:
Для определения отдельного события, частота которого регулируется матрицей, Ксенакис берет в качестве одинарного события звуковое облако плотностью звуков в секунду. Ксенакис исходит из мысли, что оркестр из семи инструментов может производить максимум десять звуков в секунду, и, соответственно выбирает в качестве — 5 звуков на такт в 26 M.M., то есть 2,2 звука в секунду, и, на основании этого, вычисляет по формуле Пуассона таблицу соответствий:
Для вычисления таблиц длительностей, скоростей и интервалов Ксенакис использует семь гипотез, используя в качестве примера третью строку глиссандо струнных III–iz — 17 единица времени. Плотность звука в этой ячейке — 4,5 звука на один такт в темпе, равном 26 М.М, соответственно, в этой ячейке содержатся 29 глиссандирующих звука, подчиняющихся следующим правилам:
При помощи данной сетки была сочинена композиция Ксенакиса «Брошенное эхо».
Вектор-матрица Ксенакиса
Схема алгоритма композиции для двойного оркестра Мишеля Филлипо, 1959
2. Решетки и теория информации
Во второй главе книги «Марковская стохастическая музыка» Ксенакис раскрывает понятие сеток и вводит элементы теории информации. Следует вкратце остановиться на этих понятиях.
Ксенакис рассматривает каждый звук как объединение простейших звуковых квантов, которые, в свою очередь, описываются тремя характеристиками: длительностью, высотой и громкостью. Полагая величиной постоянной и малой, Ксенакис оставляет только высоту и громкость .
Любой из звуков может быть разложен на некоторое число четырехмерных элементов, характеризующих данный звук.
Рисунок — представление звука в трехмерном пространстве
Решетка — это звуковая область , упорядоченная достаточно близкой и однородной сеткой, в ячейках которой расположены или не расположены звуковые зерна. Таким образом, любой звук со всей историей его изменения может быть описан с помощью соответствующего количества листов бумаги, соотносящихся с данной решеткой, и размещенных в некотором лексикографическом формате, как страницы в книге.
Рисунок — Листы бумаги с решетками
Например, решетка на рисунке характеризует звук с доминирующими областями низких и высоких частот и относительно слабой серединой.
Рисунок — Пример представления сложного звука
Степень упорядоченности, энтропию, Ксенакис измеряет в битах и вычисляет по классической формуле:
Энтропия вычисляется отдельно для каждой оси времени, высот, громкостей. Например, когда звуковое облако содержит всего один тон по оси высот, то энтропия будет нулевой.
В четвертой главе своей книги «Музыкальная стратегия — стратегия, линейное программирование, и музыкальная композиция» Ксенакис касается психофизических аспектов игры стохастической музыки оркестром и дирижером, когда вместо творческого процесса, музыканты должны быть скорее в роли «печатных машинок», и останавливается на том, что музыка по заранее определенным алгоритмам лишена так называемого конфликта - процесса выбора между хорошим или плохим.
В последней, пятой главе «Свободная стохастическая музыка с компьютером — применение компьютера IBM 7090 в музыкальной композиции» Ксенакис предлагает алгоритм, по которому компьютер может создать партитуру стохастической музыки.
Многими исследователями работы Ксенакиса критиковались за то, что, несмотря на то, что каждый из придуманных им методов и воплощений впечатляет по отдельности, как и изначальный посыл всей его философии, все эти разрозненные исследования так и не были им сложены в одну, полную, музыкально–нотационную систему и концепцию. Сегодня Ксенакис — исполняемый композитор, один из создателей самобытной ветви модернизма в музыке, а его композиции «Метастазы» (1954), «Брошенное эхо для 21 инструмента» (1957) и многие другие, стали признанной классикой музыкального авангарда.