Янис Ксенакис и стохастическая музыка

♦July 2013 ♦

Первым человеком, использовавшим математический подход в музыке в качестве принципа ее сочинения, был французский архитектор и музыкант греческого происхождения Янис Ксенакис (1922–2001). По его словам, «с появлением электронных компьютеров композитор станет чем–то вроде пилота: ему останется нажимать кнопки, вводя координаты, и осуществлять контроль над путешествием корабля в пространстве музыки».

В 50–х последним словом авангардистской мысли был так называемый «сериализм» — сложнейшим образом устроенная музыка, которая воспринималась как акустический пуантилизм — то есть состояла из отдельных звуков, висящих в пустоте. На слух никакой логической связи между этими разнородными звуками обнаружить было невозможно, всё вместе производило впечатление бессистемного, визгливого и довольно разреженного акустического пара. Ксенакис написал статью «Кризис серийной музыки» против сериалистического метода и, разумеется, восстановил против себя весь европейский авангард. Свою мысль Ксенакис формулировал так: «Линеарная музыка сама себя разрушает своей сложностью, которая не позволяет слуху следить за сплетением линий, приводя в качестве макроскопического результата к бессмысленному и произвольному разбросу звуков на весь диапазон спектра».

Взамен Ксенакис предлагал свою философию: «Представьте себе огромную толпу возмущённого народа. Голоса сливаются в гул, из которого выделяются отдельные возгласы и крики. Толпа ведёт себя как единое целое, толпа дышит, растёт, движется. Можно ли создавать музыку, думая не об отдельных нотах и инструментах, но сразу — об общем эффекте, то есть проектировать звуковые массы с заранее заданными свойствами?».

Да, утверждал Ксенакис. Параметры отдельных звуков не имеют особого значения. Если слушатель воспринимает какой–то пассаж пьесы в качестве аморфного облака, то композитор так и должен его сочинять в виде аморфного облака, ориентируясь не на звучание отдельных микро–звуков, а на общий эффект, который вполне можно создать, прибегнув к математическим методам.

1. Свободная стохастическая музыка

Ксенакис дает название новой музыке — стохастическая, и приводит в пример природные явления. Звук дождя по крыше или пение цикад — звуковые явления, рассматриваемые как целое, но при этом состоящие из тысяч отдельных звуков. Эти тысячи звуков образуют гибкое целостное явление, пластичное во времени и следующее стохастическим законам. Поэтому если требуется смоделировать большое скопление точечных звуков, как, например, pizzicato, требуется знать эти законы, являющиеся кратким и сжатым выражением некоторой логической цепи.

Основные идеи его учения сформулированы в книге «Формализованная музыка — математические принципы музыкальной композиции».

Представление стохастической теории музыки Ксенакис начинает с разложения звука музыкального инструмента на независимые составляющие:

  • Длительность — рассматривается как прямая линия, на которой происходит маркировка точек, соответствующих изменениям других составляющих. Интервал между этими точками совпадает со значением длительности. Формула, описывающая вероятности всех возможных длительностей при заранее известном числе точек, помещенных случайно на прямой:
  • где – линейная плотность точек и – длительность любого отрезка.

  • Звуковые облака — некая данная длительность и множество звуковых точек в рамках пространства громкостей и высот, реализуемое в пределах этой длительности. Если средняя поверхностная плотность этого звукового облака известна, то вероятность появления той или иной плотности в какой–либо определенной области данного пространства Ксенакис описывает с помощью закона Пуассона:
  • где — средняя плотность, – искомая плотность, — основание неперовых логарифмов.

  • Громкости, тембры, интервалы и т.д. Ксенакис описывает равенством:
  • дающим закономерность того, что отрезок (интервал громкости, мелодический и т.д.), находящийся внутри отрезка, равного по длине a, имел бы длину в пределах между и при

    Скорости — глиссандо. Для вычисления относительной частоты появления той или иной скорости , Ксенакис использует формулу, построенную на основе формул Максвелла–Больцмана для кинетической теории газа :

    , где функция дает вероятность появления скорости v, постоянная величина a характеризует температуру этой атмосферы. Распределение скоростей — гауссово. Ксенакис предлагает коэффициент корреляции для установки взаимосвязи между составляющими звуков:

    Для того чтобы упорядочить процесс формирования музыкальной композиции Ксенакис вводит свою последовательность составления музыкальной композиции:

  • Первоначальные представления (интуитивные образы);
  • определение звуковых явлений — множества звуковых элементов;
  • определение преобразований, которые должны пройти эти звуковые явления — макрокомпозиция ;
  • микрокомпозиция — выбор и детальная фиксация природных и стохастических отношений между элементами;
  • осуществление последовательно пунктов 3 и 4;
  • осуществление вычислений, проверок, повторных просмотров;
  • заключительный символичный результат программирования — партитура;
  • звуковое воплощение программы.
  • Звуковые явления в п.2 в классическом оркестре могут быть представлены с помощью векторов с четырьмя переменными: , где — тембр или семейство инструментов — высота звука — громкость звука, динамическая форма — длительность звука Теперь мы вплотную подходим к главной идее Ксенакиса, вектор–матрице M, являющейся минимальным инструментом для сочинения композиции. Вектор определяет точку M в аффинном пространстве с базой . Например, звук до третьей октавы скрипки, исполняемый приемом арко и форте длительностью М.М в степени 7, может быть представлен как: с — скрипка h=39 (=с3), g4 (=forte), u=3 (1/4 сек). Точки М появляются в двумерном пространстве исходя из закона случая, и Ксенакис описывает распределение событий с помощью закона Пуассона:

    ,

    где — вероятность, с которой событие появляется I раз в единицу времени, — плотность событий.

    Таким образом, разреженные звуковые события (мелодические фигуры, скопления звуков) формируют образец последовательности звуковых событий, и данный образец может быть представлен в виде матрицы, где клетки были бы заполнены частотами появления событий, строки были бы составлены согласно характерным особенностям событий, а столбцы — времени их появления. Распределение частот в этой матрице было бы произведено по формуле Пуассона, выражающей закон появления разреженных случайных событий.

    Пример вектор–матрицы Ксенакиса изображен на рис.1. Средняя плотность событий выбрана 0,60 в единицу времени, количество ячеек исходя из количества инструментов — 196. Семь различных тембров дают 28 единиц времени. В данной матрице Ксенакис субъективно выбирает длину будущей композиции равной семи минутам, соответственно, единица времени исчисления будет равна 15 секундам. Таким образом, каждая будет содержать в себе 6,5 тактов в темпе, которые, в свою очередь, равны 26 M.M.

    Исходя из закона Пуассона, Ксенакис вычисляет для данной сетки частоты повторения одинарных, двойных, тройных и четверных событий:

    Для вычисления частоты распределения, например, одинарного события, Ксенакис вычисляет среднее арифметическое, производя деление 65 раз на 28 строк, и получает результат в 2,32 одинарных события на каждую ячейку. Затем Ксенакис снова применяет к полученной плотности формулу Пуассона, и снова вычисляет плотность распределения для каждого столбца:

    Для определения отдельного события, частота которого регулируется матрицей, Ксенакис берет в качестве одинарного события звуковое облако плотностью звуков в секунду. Ксенакис исходит из мысли, что оркестр из семи инструментов может производить максимум десять звуков в секунду, и, соответственно выбирает в качестве — 5 звуков на такт в 26 M.M., то есть 2,2 звука в секунду, и, на основании этого, вычисляет по формуле Пуассона таблицу соответствий:

    Для вычисления таблиц длительностей, скоростей и интервалов Ксенакис использует семь гипотез, используя в качестве примера третью строку глиссандо струнных III–iz — 17 единица времени. Плотность звука в этой ячейке — 4,5 звука на один такт в темпе, равном 26 М.М, соответственно, в этой ячейке содержатся 29 глиссандирующих звука, подчиняющихся следующим правилам:

  • Акустическая характеристика глиссандирующего звука уподобляется скорости единообразно непрерывного движения;
  • средняя квадратическая величина для всех возможных значений скорости пропорциональна звуковой плотности ;
  • значения скоростей распределяются случайным образом. Вероятность наличия скорости задается формулой, следующей закону Гаусса:
  • глиссандирующий звук задается моментом начала движения, скоростью, регистром;
  • время — прямая линия, каждый момент начала звука — точка на этой прямой;
  • момент начала звука соответствует высоте звука. Например, т.к. большинство струнных инструментов имеет диапазон в 80 полутонов, назначаем некой прямой размер в 80 полутонов. Для вычисления интервала между последовательными или одновременными глиссандирующими звуками находится вероятность того, что сегмент , входящий в сегмент прямой, равной , имел бы длину, заключенную между и ( ) — по формуле, данной в п.3 разложения звука инструмента на составляющие.
  • Три характеристики из п.4 данных гипотез — независимы.
  • При помощи данной сетки была сочинена композиция Ксенакиса «Брошенное эхо».

    Вектор-матрица Ксенакиса

    Вектор-матрица Ксенакиса

    Схема алгоритма композиции для двойного оркестра Мишеля Филлипо, 1959

    Схема алгоритма композиции для двойного оркестра Мишеля Филлипо, 1959

    2. Решетки и теория информации

    Во второй главе книги «Марковская стохастическая музыка» Ксенакис раскрывает понятие сеток и вводит элементы теории информации. Следует вкратце остановиться на этих понятиях.

    Ксенакис рассматривает каждый звук как объединение простейших звуковых квантов, которые, в свою очередь, описываются тремя характеристиками: длительностью, высотой и громкостью. Полагая величиной постоянной и малой, Ксенакис оставляет только высоту и громкость .

    Любой из звуков может быть разложен на некоторое число четырехмерных элементов, характеризующих данный звук.

    Рисунок — представление звука в трехмерном пространстве

    Рисунок — представление звука в трехмерном пространстве

    Решетка — это звуковая область , упорядоченная достаточно близкой и однородной сеткой, в ячейках которой расположены или не расположены звуковые зерна. Таким образом, любой звук со всей историей его изменения может быть описан с помощью соответствующего количества листов бумаги, соотносящихся с данной решеткой, и размещенных в некотором лексикографическом формате, как страницы в книге.

    Рисунок — Листы бумаги с решетками

    Рисунок — Листы бумаги с решетками

    Например, решетка на рисунке характеризует звук с доминирующими областями низких и высоких частот и относительно слабой серединой.

    Рисунок — Пример представления сложного звука

    Рисунок — Пример представления сложного звука

    К решетке могут применяться элементарные операции, применяемые по отношению к множествам — пересечение, объединение, дополнение, разность. Решетки характеризуются тремя факторами:

  • Плотностью элементарных событий;
  • географическим положением элементов на решетке;
  • степенью атаксии (упорядоченности или неупорядоченности событий).
  • Степень упорядоченности, энтропию, Ксенакис измеряет в битах и вычисляет по классической формуле:

    Энтропия вычисляется отдельно для каждой оси времени, высот, громкостей. Например, когда звуковое облако содержит всего один тон по оси высот, то энтропия будет нулевой.

    В четвертой главе своей книги «Музыкальная стратегия — стратегия, линейное программирование, и музыкальная композиция» Ксенакис касается психофизических аспектов игры стохастической музыки оркестром и дирижером, когда вместо творческого процесса, музыканты должны быть скорее в роли «печатных машинок», и останавливается на том, что музыка по заранее определенным алгоритмам лишена так называемого конфликта - процесса выбора между хорошим или плохим.

    В последней, пятой главе «Свободная стохастическая музыка с компьютером — применение компьютера IBM 7090 в музыкальной композиции» Ксенакис предлагает алгоритм, по которому компьютер может создать партитуру стохастической музыки.

    Многими исследователями работы Ксенакиса критиковались за то, что, несмотря на то, что каждый из придуманных им методов и воплощений впечатляет по отдельности, как и изначальный посыл всей его философии, все эти разрозненные исследования так и не были им сложены в одну, полную, музыкально–нотационную систему и концепцию. Сегодня Ксенакис — исполняемый композитор, один из создателей самобытной ветви модернизма в музыке, а его композиции «Метастазы» (1954), «Брошенное эхо для 21 инструмента» (1957) и многие другие, стали признанной классикой музыкального авангарда.

    ♦ ИСТОЧНИКИ: ♦

  • THE CREATIVE COMPOSITIONAL LEGACY OF IANNIS XENAKIS James Harley - Definitive Proceedings of the “International Symposium Iannis Xenakis” (Athens, May 2005), www.iannis-xenakis.org, October 2006
  • Music Out of Nothing? A Rigorous Approach to Algorithmic Composition by Iannis Xenakis Peter Hoffmann Von der Fakultät I - Geisteswissenschaften der Technischen Universität Berlin zur Erlangung des akademischen Grades genehmigte Dissertation
  • Formalized Music THOUGHT AND MATHEMATICS IN COMPOSITION Revised Edition Iannis Xenakis – Pendragon Press – 1992c.
  • Яннис Ксенакис – Формализованная музыка : новые формальные принципы музыкальной композиции – С.-Петербургскаягосударственная консерватория имени А.Н. Римского_корсакова, 2008, перевод
  • ОПЫТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МУЗЫКАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ В КНИГЕ Я. КСЕНАКИСА «ФОРМАЛИЗОВАННАЯ МУЗЫКА» - И.Б. Горбунова, М.С. Заливадный – TerraHumana #4? 2012, c. 135-137
  • Loy, Gareth, “Composing with computers — a survey of some compositional formalisms and programming languages for music,” Current Directions in Computer Music, Max Mathews, John Pierce, eds., Cambridge: MIT Press, 1990 c. 291-396