АНТИЧНОСТЬ, СРЕДНИЕ ВЕКА и КЛАССИЧЕСКИЙ ПЕРИОД

♦April 2013 ♦

Античность

Первый опыт по формализации музыкальных звуков с помощью математических методов принадлежит Пифагору, отыкрывшему числовое соотношение музыкальных интервалов. Основной постулат учений Пифагора состоял в том, что все вещи являются числами, либо состоят из чисел, либо ведут себя подобно числам.

Однажды, размышляя над проблемой гармонии, Пифагор проходил мимо мастерской медника, который склонился над наковальней с куском металла. Заметив различие в тонах между звуками, издаваемыми различными молоточками и другими инструментами при ударе о металл, и, тщательно оценив гармонии и дисгармонии, получающиеся от комбинации этих звуков, Пифагор получил первый ключ к понятию музыкального интервала в диатонической шкале. Он вошел в мастерскую и после осмотра инструментов и прикидывания в уме их веса, вернулся в собственный дом, где сконструировал балку, прикрепил ее к стене и приделал к ней через равные интервалы четыре струны, полностью одинаковые. К первой из них он прикрепил вес в двенадцать фунтов, ко второй — в девять, к третьей — в восемь, и к четвертой — в шесть фунтов.

Пифагор обнаружил, что первая и четвертая струны, когда звучат вместе, дают гармонический интервал октавы, потому что удваивание веса имеет тот же эффект, что и укорачивание струны наполовину. Натяжение первой струны было в два раза больше, чем четвертой струны, и их соотношение было равно 2:1. Подобным же образом он заключил, что первая и третья струны дают гармонию диапенте, или квинту. Натяжение первой струны было в полтора раза больше, нежели третьей струны, и их соотношение было 3:2, или полуторное. Также вторая и четвертая струны, имея то же соотношение, что и первая, и третья, давали гармонию диапенте. Продолжая это исследование, Пифагор открыл, что первая и вторая струны дают гармонию диатессарон, или терцию, натяжение первой струны на треть больше, чем второй, их соотношение 4:3, или sesquitertian. Третья и четвертая струны, имея то же соотношение, что и первая, и вторая, дают ту же гармонию. Согласно Ямвлиху, вторая и третья струны имеют соотношение 8:9, или epogdoan.
Ключ к гармоническому соотношению скрыт в знаменитом Пифагоровском тетрактисе, пирамиде из точек. Тетрактис образован из первых четырех чисел: 1, 2, 3 и 4, которые в их пропорциях открывают интервалы октавы, диапенте и диатессарон. Хотя теория гармонических интервалов, изложенная выше, является правильной, молоточки, бьющие по металлу в описанной выше манере, не дают тех тонов, которые им приписываются. По всей вероятности, Пифагор разработал свою теорию гармонии, работая с монохордом, однострунным инструментом, состоящим из одной струны, натянутой между зажимами и снабженное подвижными ладами.

Средние века

Первый известный пример применения алгоритмического подхода к сочинению музыки принадлежит Гвидо д’Ареццо (1026), разработавшего соответствующий метод привязки текста к нотам. Каждая нота была назначена определенной гласной - мелодия варьировалась, исходя из положения гласных в тексте. Стандартная 12–нотная октава была размечена следующим образом:

Г A B C D E F G a b c d e f g

Затем под этой строкой размещались три цикла гласных:

Г A B C D E F G a b c d e f g

a e i o u a e i o u a e i o u

После этого композитору оставалось составить мелодию, пользуясь такой таблицей, исходя из извлеченных текстовых гласных.

1.3 Классический период

1.3.1 Игра в музыкальные кости Моцарта

Следующим примером попытки применения алгоритмических процедур в докомпьютерную эпоху являются музыкальные кости Моцарта (Рис 1). В данном случае использовались музыкальные фрагменты, которые должны были быть объединены исходя из результатов бросков кости.

Рисунок 1 — Музыкальные кости Моцарта для 16–тактного менуэта

Номера сверху обозначают восьмые части вальса, а номера слева — возможные комбинации двух брошенных кубиков. Числа внутри матрицы соответствуют количеству тактов музыкальных фрагментов, которые затем объединяются для создания алгоритмического вальса.

Золотое сечение

Еще одна математическая модель, использовавшаяся в искусстве на протяжении веков — золотое сечение. Под золотым сечением подразумевается точка, делящая любой сегмент на такие две части, что соотношение размера большей части по отношению к маленькой равно соотношению всего сегмента по отношению к большей части.

Золотое сечение неразрывно связано с последовательностью чисел Фибоначчи, открытой Леонардо Пизанским в XIII веке:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144….,

где каждое последующее число является суммой двух предыдущих.

Данная последовательность всегда привлекала различных композиторов, использующих ее в качестве структурной схемы. По отношению ко всей длине произведения точка золотого сечения приходится примерно на 61,8% хронометража. Обычно композиторы оставляют на данный отрезок кульминацию отрывка или драматический момент. Самым ранним примером использования такого подхода можно назвать мотет английского композитора Томаса Таллиса «Положиться на кого–то другого» — в золотой середине этого произведения идет такт полной тишины, за которым следует вступление хора из 40 голосов. Также золотое сечение можно встретить в произведениях таких композиторов как Шуберт, Бах, Дебюсси.

♦ ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ: ♦

  • Я́мвлих (245/280 — 325/330) — античный философ–неоплатоник, ученик Порфирия, глава Сирийской школы неоплатонизма в Апамее.
  • Гвидо д’Ареццо, Гвидо Аретинский (итал. Guido d'Arezzo) (990 — 1050) — итальянский теоретик музыки, один из крупнейших в эпоху Средних веков.
  • Леонардо Пизанский (итал. Leonardo Pisano, 1170 — 1250) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи.
  • Р: