ХАОС: ТЕОРИЯ ШУМА

Одним из интересных методов генерации алгоритмических композиций, тесно связанным с фрактальной геометрией и элементами самоподобия, является «доставание» музыки из шума.

Существует много видов шумов, которые классифицируются по так называемому цветовому признаку: белый, розовый, коричневый, синий, фиолетовый, серый, оранжевый, черный, красный, зеленый. Нас будут интересовать только первые три.

Цвета шума — система терминов, приписывающая некоторым видам шумовых сигналов определённые цвета, исходя из аналогии между спектром сигнала произвольной природы (точнее, его спектральной плотностью или, говоря математически, параметрами распределения случайного процесса) и спектрами различных цветов видимого света. Эта абстракция широко используется в отраслях техники, имеющих дело с шумом (акустика, электроника, физика и т. д.). Анализ спектральной плотности дает нам информацию об «энергии» и распределении частот, содержащихся в этом сигнале. Спектральную плотность белого, броуновского и розового шумов можно описать пропорцией , где — значения частоты, .

Белый шум — это сигнал с равномерной спектральной плотностью на всех частотах и дисперсией, равной бесконечности. Является стационарным случайным процессом. Его плотный спектр определяется зависимостью — (=1). В природе не встречается чистый белый шум, так как такой сигнал бы имел бесконечную мощность, но в качестве отдаленного примера белого шума можно привести статические помехи, которые мы слышим по радио.

Броуновский («коричневый») шум имеет спектральную плотность , то есть на низких частотах содержится больше энергии, чем на высоких.

Розовый (также называющийся фликкер–шум, «мерцающий» шум, –шум) — шум, равномерно убывающий в логарифмической шкале частот. Пример розового шума — шум удаляющегося вертолета, также он обнаруживается в сердечных ритмах, энцефаллограмах и многих электронных устройствах.

В 1975 году ученые кафедры физики Калифорнийского Университета Ричард Фосс и Джон Кларк проанализировали несколько записей музыкальных произведений (от Баха до пианиста Скотта Джоплина ) и пришли к выводу, что мощность звуковых частот композиций очень близка к шуму. Стоит отметить, что ученые для общего анализа использовали не отдельные произведения, а склеенные, иногда кардинально различающиеся по стилю, произведения, перемежающиеся речевыми комментариями и вставками — продолжительность аудиоматериала могла достигать 12 часов. Ученые считали, что нужно как можно более обще подойти к количеству анализируемого материала, а не использовать отдельные несопоставимые выборки отдельных произведений. Таким образом, при долгосрочной перспективе, розовый шум оказался наиболее близок к музыке — он не имеет непредсказуемости белого шума, ровно так же как и предсказуемости коричневого, и логарифмически коррелирует с прошлыми значениями. Иными словами, средняя активность последних десяти событий настолько же сильно влияет на текущее значение, как и последние сто или тысяча событий.

В 1995 году ученый Жан–Пьер Буон (Университет Брюсселя) провел сходный анализ, но уже отдельных классических и джазовых произведений. Результат получился иным: 1,791,97, что гораздо ближе к броуновскому шуму.

Алгоритмы по конвертации спектральных характеристик белых и коричневых шумов в музыкальные последовательности довольно просты. «Белая» музыка заключается в простом картировании (назначении соответствия) выходных данных генератора случайных чисел равновероятному набору событий в упорядоченном пространстве событий (например, нот). «Коричневая» музыка создается с помощью Цепи Маркова со случайным блужданием (вероятностная матрица этой цепи имеет ненулевые значения на всех сторонах главной диагонали и нулевые на остальных), которая является симуляцией генерации броуновского шума:

Генерация розового шума происходит сложнее. Фосс и Кларк генерировали этот шум с помощью сэмплирования, квантизации и последующей конвертации сигналов электрического напряжения в последовательность чисел. Однако в 1991 году Мэнфредом Шредером, профессором в области акустической физики университета Геттингена, было предложено нелинейное уравнение, выходные данные которого сходны с розовым шумом:

,

где — это любое число из интервала (0,1) и – случайное значение для каждой итерации уравнения.

Восс и Кларк провели эксперимент по генерации музыкальных мелодий со значениями нот размером в две хроматические октавы из всех трех видов шумов. Итогом эксперимента стало то, что белый шум давал последовательности нот, имеющих чрезмерно случайный характер. Мелодии, извлеченные из Броуновского шума, были слишком монотонны и коррелированны. Наиболее правдоподобно в музыкальном плане звучали мелодии, сгенерированные из розового шума.