СИСТЕМА ШИЛЛИНГЕРА
Бурное развитие науки и, в частности, математики, начавшееся с середины XIX века, позволило композиторам и ученым воплощать в своих трудах такие идеи, которые ранее казались невозможными. В 20–30–х годах двадцатого века, украинский композитор и музыкальный теоретик Иосиф Шиллингер (автор первого концерта для терменвокса с оркестром, учитель таких музыкантов, как Глен Миллер и Джордж Гершвин ), иммигрировавший в США, развил свою «Систему музыкальной композиции Шиллингера» и «Математическую основу искусств» — два огромных произведения объемом в более чем 2000 страниц, опубликованных уже посмертно на основе многочисленных разрозненных записей ученого. Постулатом, проходящим через все труды ученого можно считать слова о том, что «раньше и молнию считали проявлением чего–то сакрального, а с развитием науки все было объяснено, поэтому не стоит прибывать в заблуждениях относительно процесса человеческого творчества».
Система музыкальной композиции Шиллингера — это альтернативная система музыкальных нотаций, основной принцип работы которой заключается в использовании результирующего вектора взаимовлияющих периодических колебаний на квадратную область ритмических и структурных пропорций, с последующей проекцией на области нот и аккордов, контрапунктов, гармонических прогрессий, эмоциональных и семантических аспектов.
Данная работа состояла из 12 глав–«книг», описывающих формализацию практически всех аспектов музыкального творчества:
Фундаментальной основой системы Шиллингера является теория ритма [16].
1. Теория ритма.
Теория ритма держится на понятии интерференции — того, что ритм возникает вследствие наложения друг на друга двух и более отдельных пульсаций. Для понимания данного постулата, в первую очередь, нужно сказать, что Шиллингер вводит собственную систему представления музыкальной информации (нотаций). Это числа, графики, а также традиционные ноты. Приведем пример графической записи ритмической последовательности в системе Шиллингера (Рис. 2):
Рисунок 2 — Ритмическая последовательность в системе Шиллингера
Вертикальные линии в этом ритмическом паттерне обозначают место звуковой атаки, а горизонтальные — продолжительность. Также Шиллингер вводит понятие мономиальной периодичности, заключающееся в повторении одинаковых ритмических паттернов, и записывает ее числами в соответствии с выбранным масштабом. Например, указанный ранее графический паттерн можно записать, как 1+1+1+1+1+1. Если увеличить масштаб горизонтальных линий (соответственно, и продолжительность) вдвое, то получившийся паттерн уже можно записать как 2+2+2+2+2.
Теперь мы можем объяснить такое явление, как интерференция периодичностей. Ритм, получающийся после интерференции двух периодичностей, Шиллингер называет ритмическим результантом. Рисунок 3 демонстрирует принцип интерференции для двух ритмических последовательностей — 4 и 3. Шиллингер обозначает результант буквой r, и добавляет нижний индекс, обозначающий какие именно последовательности будут комбинироваться — в нашем случае это выглядит так: 
Рисунок 3 — Графическое представление принципа интерференции в системе Шиллингера в размере 3/4.
Таким образом, имея две и более мономониальных ритмических последовательностей, мы можем опустить перпендикуляры в местах атаки, и получить в итоге новую последовательность, являющуюся результантом комбинируемых последовательностей.
Также, для получения более расширенных результантов, Шиллингер предлагает методы вычисления с дроблением (fractioning) 
. Основные правила при этом следующие:
В качестве графического примера приведем вычисления результанта с дроблением :
Рисунок 4 — вычисление результанта с дроблением
Шиллингер предлагает три формулы для достижения законченности ритмических рисунков, полученных с использованием указанных выше методов:
По Шиллингеру, каждый ритмический рисунок является результантом интерференции, либо частью результанта. В случае того, когда большой ритмический рисунок повторяется много раз, возникает монотонность, и, чтобы избавиться от нее, Шиллингер предлагает использовать перестановки и ротации. Данный метод может быть применен по отношению к длительностям, паузам, акцентам, раздробленным нотам и группам. Количество перестановок равно факториалу n, или n!, где n — количество элементов, подлежащих перестановке. Например, для трех элементов a, b, с количество перестановок будет равно 6: abc, acb, bca, bac, cab, cba.
В случае ротации, количество вариантов будет меньше в 2 раза:
Рисунок 5 — перестановка вариантов с помощью ротации
Также возможна ротация и против часовой стрелки.
Последним базовым концептом теории ритма являются ритмические ряды. Шиллингер развивает несколько мощных техник, основанных на функции, которую он называет детерминант. Упрощенно говоря, детерминант — это числитель тактового размера или число долей в такте. Детерминант ритмического ряда обозначается как t/t. Принципы создания ритмических последовательностей определяются возведением детерминанта в степень. Шиллингер приводит принципы определения детерминантов:
Столбцы, сгруппированные справа, отвечают за рост «факториальных последовательностей», например, как такты объединяются в группы, и последующее развитие этих групп, а столбцы, сгруппированные слева, «дробные последовательности» — ритмические шаблоны внутри тактов.
Шиллингер подчеркивает, что на данный момент в музыкальной мировой истории использованные ритмические ряды ограничиваются рядом 9/9, а в европейской музыкальной истории абсолютно доминирующим является ряд 2/2, что является крайне угнетающим для развития музыки. Действительно, как мы видим, количество тактов и нотные длительности в европейской системе нотаций всегда являются кратным двум. Помимо этого, Шиллингер приводит примеры других ритмических рядов. Правая часть 3/3 практически не представлена, разве что помимо трехтактовых вальсов, левая представлена в некоторых работах, например, Баха, однако далее третьей степени она не пошла. Серия 4/4 в основном, представлена в маршах, 6/6 — в музыкальной культуре Южной Европы, 7\7 — восточная музыка, 8\8 — африканская музыка, 9\9 — свинг.
Для получения гармоничных ритмических контрастов при использовании вышеуказанных ритмических рядов, Шиллингер предлагает несколько формул:
Квадрат бинома; для факториальной последовательности:
Квадрат триномиала:
Синхронизация:
Генерализация квадрата:
Куб бинома:
Куб триномиала:
Генерализация куба:
Генерализация всех степеней:
, получим те же последовательности, только наоборот: 1+2+2+4 и 3+6:
Рисунок 6 — Вычисление результантов для квадрата бинома детерминанта 3/3
Таким образом, мы получаем три дополнительные партии, которыми мы можем внести разнообразие в композицию, предварительно, на свое усмотрение, выбрав единицу начала отсчета — в нашем случае Шиллингер предлагает взять ноту 1/9.
2. Теория звуковысотных отношений.
Шиллингер обозначает гамму через интервалы между «звуковысотными единицами» и выражает ее в числовой форме. Например, гамма До-мажор будет представлен в системе нотаций Шиллингера как (2,2,1)(2)(2,2,1), где 1 — это полутон.
Традиционная западная музыкальная теория предполагает, что гамма имеет одну тонику. Шиллингер же вводит 4 вида гамм: с одной тоникой в диапазоне одной октавы, с одной тоникой в диапазоне более чем одной октавы, с более чем одной тоникой в пределах одной октавы, и, наконец, с более чем одной тоникой в диапазоне более одной октавы.
В системе Шиллингера могут быть 2048 гамм. Рассмотрим самые привычные для нас — гаммы из семи элементов. Мажорные и минорные гаммы конструируются из двух маленьких гамм из четырех элементов — тетрахордов. Объединяя два тетрахорда и разделяя их двумя полутонами, мы можем получить все традиционные гаммы. Шиллингер приводит классификацию традиционных тетрахордов:
Помимо этого, Шиллингер приводит классификацию гамм гармонических, натуральных и мелодических:
Для определения интервалов гаммах могут быть использованы те правила, которые применялись для генерации ритма. Например, результант 4/3=3+1+2+2+1+3 прекрасно подходит для описания интервалов между звуковысотными единицами в гамме.
Помимо этого, Шиллингер вводит понятие главной оси — это нота, которая появляется максимально часто и долго в течение определенного фрагмента музыкальной фразы. Главная ось — это и есть тональность гаммы. Также существует ось тональности — это, по сути, базовый тон гаммы.
Кроме этого гаммы могут быть построены на «симметричных тониках». Шиллингер показывает, как октава может быть разделена на 5 симметричных гамм: хроматическая полутоновая гамма (1+1+1…), целотоновая гамма (2+2+2+2+2+2), гамма минорных терций, напоминающая септаккорд (3+3+3+3), мажорных терций – увеличенных трезвучий — (4+4+4), увеличенная октавная кварта (6+6). Каждая нота в гаме рассматривается как тоника, вокруг которой строятся остальные гаммы.
Рисунок 7 – две фразы, построенные на симметрично расположенных гаммах
На рисунке 7 гамма (2+3+2+3+2) построена на тониках, разделенных интервалом (6+6).
3. Вариации музыки посредством геометрических проекций.
Основная идея данной книги в том, что любая мелодия и аккорд могут быть представлены графически на оси координат тон–время (Рис. 8). Сейчас такая запись активно используется в различных музыкальных программах под названием Piano Roll.
Рисунок 8 — Представление музыки в геометрической форме
К подобной форме представления могут быть применены различные «инверсии»: можно отразить существующую схему по горизонтали, т.е. сыграть ее задом наперед, либо по вертикали, осуществив «тональную инверсию» и т.д.
4. Теория мелодии.
Шиллингер полагает, что мелодия имеет биологическое происхождение — информация, проходящая через наши органы чувств продуцирует электрохимические и биомеханические отклики нашего тела [18, с. 15–52]. Например, страх — сокращение мышц, а страсть или удовольствие — расширение. Между вышеуказанными пограничными состояниями существует состояние покоя, характеризующееся регулярными движениями, такими как, например, дыхание или сердцебиение.
Главная ось, описанная выше — это и есть состояние покоя. Продвигаясь выше или ниже нее, мы вызываем расширение, продвигаясь навстречу — сокращение. Эти движения вокруг оси называются вторичными осями.
Рисунок 9 — оси мелодии
Последующие книги углубляются в каждую из ранее описанных техник и дают более подробные объяснения их использования [36, с. 126–132].
Специальная теория гармонии объясняет некоторые традиционные техники по созданию гармонии. Например, Шиллингер предлагает составлять параллельно прогрессии басовых тонов, и аккордов, построенных на этих басах.
Корреляция гармонии и мелодии описывает техники для создания мелодий и гармонических аккомпанементов к ним.
Теория контрапункта описывает отношения между Кантус Фирмус и контрапунктом.
Инструментальные формы посвящена использованию различных форм арпеджио.
Общая теория гармонии развивает принципы конструкции и координации гармонических групп.
Эволюция звуковысотных стилей прослеживает развитие примитивной гаммы в полноценную мелодико–гармоническую форму.
Теория оркестровки представляет собой довольно стандартное перечисление характеристик стандартных оркестровых инструментов.
5. Теория композиции.
Данная книга разделена на три части: композиция тематических единиц, композиция тематических музыкальных тем, и семантичная (коннотативная) композиция. В первой части Шиллингер вводит понятие «тематической единицы» — базового структурного элемента композиции, в стандартной музыкальной нотации это можно назвать «темой» [55, c.1–4].
Во второй части Шиллингер описывает то, как тематические единицы составляют тематическую последовательность и приводит свою последовательность из шагов того, как должна вестись работа над композицией:
Особо интересны идеи, описанные в третьей части книги. Шиллингер пытается подвести математическое обоснование для эмоциональной направленности композиций, и продолжает идею четвертой книги, что музыкальные формы — это «звуковые символы» [67, с. 1411]. Как разъясняет Шиллингер: «Даже в так называемой неживой природе присутствуют такие формы отклика на звуковые символы, как отраженная вибрация или резонанс. Поэтому мы можем сделать вывод о том, что большинство ранних звуковых символов произошли от звуковых шаблонов, появившихся в качестве отклика на воздействия окружающего мира».
Шиллингер вводит понятие «психологического круга» для описания возможных откликов на воздействия (Рис.10).
Рисунок 10 — «Психологический круг»
Круг разделен на две части, левая — негативная (как было указано, потеря энергии и сокращение), а правая — позитивная (рост энергии и расширение). В соответствии с идеями, изложенными в четвертой книге, любая точка этого круга может быть переведена в движение вторичной оси мелодии (Рис.11). Когда вторичная ось удаляется от главной, это движение относится к позитивной зоне «круга», и наоборот. Чем более экстремально воздействие и отклик, тем круче угол наклона осей по отношению к главной.
Рисунок 11 — соответствие осей и психологических кругов
Система музыкальной композиции Шиллингера была встречена резкой критикой за псевдонаучность, отсутствие внятных математических обоснований, и слишком сложный, непостоянный и сбивчивый стиль изложения. Однако именно эта работа определила направления многих будущих научных исследований в области алгоритмического сочинения музыки (например, изучение музыки как нелинейной системы стихийного характера), и вернула интерес к сфере, забытой на несколько веков.