СИСТЕМА ШИЛЛИНГЕРА

♦June 2013 ♦

Бурное развитие науки и, в частности, математики, начавшееся с середины XIX века, позволило композиторам и ученым воплощать в своих трудах такие идеи, которые ранее казались невозможными. В 20–30–х годах двадцатого века, украинский композитор и музыкальный теоретик Иосиф Шиллингер (автор первого концерта для терменвокса с оркестром, учитель таких музыкантов, как Глен Миллер и Джордж Гершвин ), иммигрировавший в США, развил свою «Систему музыкальной композиции Шиллингера» и «Математическую основу искусств» — два огромных произведения объемом в более чем 2000 страниц, опубликованных уже посмертно на основе многочисленных разрозненных записей ученого. Постулатом, проходящим через все труды ученого можно считать слова о том, что «раньше и молнию считали проявлением чего–то сакрального, а с развитием науки все было объяснено, поэтому не стоит прибывать в заблуждениях относительно процесса человеческого творчества».

Система музыкальной композиции Шиллингера — это альтернативная система музыкальных нотаций, основной принцип работы которой заключается в использовании результирующего вектора взаимовлияющих периодических колебаний на квадратную область ритмических и структурных пропорций, с последующей проекцией на области нот и аккордов, контрапунктов, гармонических прогрессий, эмоциональных и семантических аспектов.

Данная работа состояла из 12 глав–«книг», описывающих формализацию практически всех аспектов музыкального творчества:

  • Теория ритма.
  • Теория звуковысотных отношений.
  • Музыкальные вариации посредством геометрических проекций.
  • Теория мелодии.
  • Специальная теория гармонии.
  • Корелляции гармонии и мелодии.
  • Теория контрапунктов.
  • Инструментальные формы.
  • Общая теория гармонии.
  • Эволюция звуковысотных семей (стилей).
  • Теория композиции.
  • Теория оркестровки.
  • Фундаментальной основой системы Шиллингера является теория ритма [16].

    1. Теория ритма.

    Теория ритма держится на понятии интерференции — того, что ритм возникает вследствие наложения друг на друга двух и более отдельных пульсаций. Для понимания данного постулата, в первую очередь, нужно сказать, что Шиллингер вводит собственную систему представления музыкальной информации (нотаций). Это числа, графики, а также традиционные ноты. Приведем пример графической записи ритмической последовательности в системе Шиллингера (Рис. 2):

    Рисунок 2 — Ритмическая последовательность в системе Шиллингера

    Рисунок 2 — Ритмическая последовательность в системе Шиллингера

    Вертикальные линии в этом ритмическом паттерне обозначают место звуковой атаки, а горизонтальные — продолжительность. Также Шиллингер вводит понятие мономиальной периодичности, заключающееся в повторении одинаковых ритмических паттернов, и записывает ее числами в соответствии с выбранным масштабом. Например, указанный ранее графический паттерн можно записать, как 1+1+1+1+1+1. Если увеличить масштаб горизонтальных линий (соответственно, и продолжительность) вдвое, то получившийся паттерн уже можно записать как 2+2+2+2+2.

    Теперь мы можем объяснить такое явление, как интерференция периодичностей. Ритм, получающийся после интерференции двух периодичностей, Шиллингер называет ритмическим результантом. Рисунок 3 демонстрирует принцип интерференции для двух ритмических последовательностей — 4 и 3. Шиллингер обозначает результант буквой r, и добавляет нижний индекс, обозначающий какие именно последовательности будут комбинироваться — в нашем случае это выглядит так:

    Рисунок 3 — Графическое представление принципа интерференции в системе Шиллингера в размере 3/4.

    Рисунок 3 — Графическое представление принципа интерференции в системе Шиллингера в размере 3/4.

    Таким образом, имея две и более мономониальных ритмических последовательностей, мы можем опустить перпендикуляры в местах атаки, и получить в итоге новую последовательность, являющуюся результантом комбинируемых последовательностей.

    Также, для получения более расширенных результантов, Шиллингер предлагает методы вычисления с дроблением (fractioning) . Основные правила при этом следующие:

  • Длина результанта равна квадрату a в базовых единицах.
  • Мономиальная периодичность b появляется a раз.
  • Из каждой атаки a рисуется новый дополнительный график периодичности b (количество дополнительных периодичностей b рассчитывается по формуле N=a-b+1).
  • В качестве графического примера приведем вычисления результанта с дроблением :

    Рисунок 4 — вычисление результанта с дроблением

    Рисунок 4 — вычисление результанта с дроблением

    Шиллингер предлагает три формулы для достижения законченности ритмических рисунков, полученных с использованием указанных выше методов:

  • Балансировка —
  • Расширение —
  • Сжатие —
  • По Шиллингеру, каждый ритмический рисунок является результантом интерференции, либо частью результанта. В случае того, когда большой ритмический рисунок повторяется много раз, возникает монотонность, и, чтобы избавиться от нее, Шиллингер предлагает использовать перестановки и ротации. Данный метод может быть применен по отношению к длительностям, паузам, акцентам, раздробленным нотам и группам. Количество перестановок равно факториалу n, или n!, где n — количество элементов, подлежащих перестановке. Например, для трех элементов a, b, с количество перестановок будет равно 6: abc, acb, bca, bac, cab, cba.

    В случае ротации, количество вариантов будет меньше в 2 раза:

    Рисунок 5 — перестановка вариантов с помощью ротации

    Рисунок 5 — перестановка вариантов с помощью ротации

    Также возможна ротация и против часовой стрелки.

    Последним базовым концептом теории ритма являются ритмические ряды. Шиллингер развивает несколько мощных техник, основанных на функции, которую он называет детерминант. Упрощенно говоря, детерминант — это числитель тактового размера или число долей в такте. Детерминант ритмического ряда обозначается как t/t. Принципы создания ритмических последовательностей определяются возведением детерминанта в степень. Шиллингер приводит принципы определения детерминантов:

    наиболее частые детерминанты

    Столбцы, сгруппированные справа, отвечают за рост «факториальных последовательностей», например, как такты объединяются в группы, и последующее развитие этих групп, а столбцы, сгруппированные слева, «дробные последовательности» — ритмические шаблоны внутри тактов.

    Шиллингер подчеркивает, что на данный момент в музыкальной мировой истории использованные ритмические ряды ограничиваются рядом 9/9, а в европейской музыкальной истории абсолютно доминирующим является ряд 2/2, что является крайне угнетающим для развития музыки. Действительно, как мы видим, количество тактов и нотные длительности в европейской системе нотаций всегда являются кратным двум. Помимо этого, Шиллингер приводит примеры других ритмических рядов. Правая часть 3/3 практически не представлена, разве что помимо трехтактовых вальсов, левая представлена в некоторых работах, например, Баха, однако далее третьей степени она не пошла. Серия 4/4 в основном, представлена в маршах, 6/6 — в музыкальной культуре Южной Европы, 7\7 — восточная музыка, 8\8 — африканская музыка, 9\9 — свинг.

    Для получения гармоничных ритмических контрастов при использовании вышеуказанных ритмических рядов, Шиллингер предлагает несколько формул:

    Квадрат бинома; для факториальной последовательности:

    Для дробной последовательности:

    Также необходимо провести синхронизацию исходного бинома, чтобы добиться совпадения по длительности:

    Квадрат триномиала:

    Синхронизация:

    Генерализация квадрата:

    Куб бинома:

    Куб триномиала:

    Генерализация куба:

    Генерализация всех степеней:

    Рассмотрим на примере построение квадрата бинома для последовательности 3/3 (Рис. 6). У этой ритмической серии возможны два биномиала: 2+1 и 1+2 для факториальной записи и 2/3+1/3 и 1/3+2/3 для дробной:

    , синхронизируем:

    . В итоге мы получаем две последовательности: 4+2+2+1, и 6+3. Выполнив аналогичные операции над суммой , получим те же последовательности, только наоборот: 1+2+2+4 и 3+6:

    Рисунок 6 — Вычисление результантов для квадрата бинома детерминанта 3/3

    Таким образом, мы получаем три дополнительные партии, которыми мы можем внести разнообразие в композицию, предварительно, на свое усмотрение, выбрав единицу начала отсчета — в нашем случае Шиллингер предлагает взять ноту 1/9.

    2. Теория звуковысотных отношений.

    Шиллингер обозначает гамму через интервалы между «звуковысотными единицами» и выражает ее в числовой форме. Например, гамма До-мажор будет представлен в системе нотаций Шиллингера как (2,2,1)(2)(2,2,1), где 1 — это полутон.

    Традиционная западная музыкальная теория предполагает, что гамма имеет одну тонику. Шиллингер же вводит 4 вида гамм: с одной тоникой в диапазоне одной октавы, с одной тоникой в диапазоне более чем одной октавы, с более чем одной тоникой в пределах одной октавы, и, наконец, с более чем одной тоникой в диапазоне более одной октавы.

    В системе Шиллингера могут быть 2048 гамм. Рассмотрим самые привычные для нас — гаммы из семи элементов. Мажорные и минорные гаммы конструируются из двух маленьких гамм из четырех элементов — тетрахордов. Объединяя два тетрахорда и разделяя их двумя полутонами, мы можем получить все традиционные гаммы. Шиллингер приводит классификацию традиционных тетрахордов:

  • Мажор (M) — 2+2+1.
  • Минор (m1) — 2+1+2.
  • Минор 2 (m2) — 1+2+2.
  • Гармонический (h) — 1+3+1.
  • Помимо этого, Шиллингер приводит классификацию гамм гармонических, натуральных и мелодических:

    Для определения интервалов гаммах могут быть использованы те правила, которые применялись для генерации ритма. Например, результант 4/3=3+1+2+2+1+3 прекрасно подходит для описания интервалов между звуковысотными единицами в гамме.

    Помимо этого, Шиллингер вводит понятие главной оси — это нота, которая появляется максимально часто и долго в течение определенного фрагмента музыкальной фразы. Главная ось — это и есть тональность гаммы. Также существует ось тональности — это, по сути, базовый тон гаммы.

    Кроме этого гаммы могут быть построены на «симметричных тониках». Шиллингер показывает, как октава может быть разделена на 5 симметричных гамм: хроматическая полутоновая гамма (1+1+1…), целотоновая гамма (2+2+2+2+2+2), гамма минорных терций, напоминающая септаккорд (3+3+3+3), мажорных терций – увеличенных трезвучий — (4+4+4), увеличенная октавная кварта (6+6). Каждая нота в гаме рассматривается как тоника, вокруг которой строятся остальные гаммы.

    Рисунок 7 – две фразы, построенные на симметрично расположенных гаммах

    На рисунке 7 гамма (2+3+2+3+2) построена на тониках, разделенных интервалом (6+6).

    3. Вариации музыки посредством геометрических проекций.

    Основная идея данной книги в том, что любая мелодия и аккорд могут быть представлены графически на оси координат тон–время (Рис. 8). Сейчас такая запись активно используется в различных музыкальных программах под названием Piano Roll.

    Рисунок 8 — Представление музыки в геометрической форме

    К подобной форме представления могут быть применены различные «инверсии»: можно отразить существующую схему по горизонтали, т.е. сыграть ее задом наперед, либо по вертикали, осуществив «тональную инверсию» и т.д.

    4. Теория мелодии.

    Шиллингер полагает, что мелодия имеет биологическое происхождение — информация, проходящая через наши органы чувств продуцирует электрохимические и биомеханические отклики нашего тела [18, с. 15–52]. Например, страх — сокращение мышц, а страсть или удовольствие — расширение. Между вышеуказанными пограничными состояниями существует состояние покоя, характеризующееся регулярными движениями, такими как, например, дыхание или сердцебиение.

    Главная ось, описанная выше — это и есть состояние покоя. Продвигаясь выше или ниже нее, мы вызываем расширение, продвигаясь навстречу — сокращение. Эти движения вокруг оси называются вторичными осями.

    Рисунок 9 — оси мелодии

    Последующие книги углубляются в каждую из ранее описанных техник и дают более подробные объяснения их использования [36, с. 126–132].

    Специальная теория гармонии объясняет некоторые традиционные техники по созданию гармонии. Например, Шиллингер предлагает составлять параллельно прогрессии басовых тонов, и аккордов, построенных на этих басах.

    Корреляция гармонии и мелодии описывает техники для создания мелодий и гармонических аккомпанементов к ним.

    Теория контрапункта описывает отношения между Кантус Фирмус и контрапунктом.

    Инструментальные формы посвящена использованию различных форм арпеджио.

    Общая теория гармонии развивает принципы конструкции и координации гармонических групп.

    Эволюция звуковысотных стилей прослеживает развитие примитивной гаммы в полноценную мелодико–гармоническую форму.

    Теория оркестровки представляет собой довольно стандартное перечисление характеристик стандартных оркестровых инструментов.

    5. Теория композиции.

    Данная книга разделена на три части: композиция тематических единиц, композиция тематических музыкальных тем, и семантичная (коннотативная) композиция. В первой части Шиллингер вводит понятие «тематической единицы» — базового структурного элемента композиции, в стандартной музыкальной нотации это можно назвать «темой» [55, c.1–4].

    Во второй части Шиллингер описывает то, как тематические единицы составляют тематическую последовательность и приводит свою последовательность из шагов того, как должна вестись работа над композицией:

  • Принятие решения о длине композиции;
  • определение периодичности насыщений (периодичность насыщений — это плотность событий: нот, атак и т.д.). Шиллингер полагает, что чем выше плотность музыкальных событий — тем дольше восприятие композиции по времени);
  • принятие решения о количестве субъектов и тематических групп субъектов;
  • формирование тематических последовательностей;
  • временное определение и расширение тематических групп;
  • организация временных музыкальных тем;
  • композиция тематических единиц;
  • композиция тематических групп;
  • интонационная координация;
  • оркестровка / инструментовка.
  • Особо интересны идеи, описанные в третьей части книги. Шиллингер пытается подвести математическое обоснование для эмоциональной направленности композиций, и продолжает идею четвертой книги, что музыкальные формы — это «звуковые символы» [67, с. 1411]. Как разъясняет Шиллингер: «Даже в так называемой неживой природе присутствуют такие формы отклика на звуковые символы, как отраженная вибрация или резонанс. Поэтому мы можем сделать вывод о том, что большинство ранних звуковых символов произошли от звуковых шаблонов, появившихся в качестве отклика на воздействия окружающего мира».

    Шиллингер вводит понятие «психологического круга» для описания возможных откликов на воздействия (Рис.10).

    Рисунок 10 — «Психологический круг»

    Круг разделен на две части, левая — негативная (как было указано, потеря энергии и сокращение), а правая — позитивная (рост энергии и расширение). В соответствии с идеями, изложенными в четвертой книге, любая точка этого круга может быть переведена в движение вторичной оси мелодии (Рис.11). Когда вторичная ось удаляется от главной, это движение относится к позитивной зоне «круга», и наоборот. Чем более экстремально воздействие и отклик, тем круче угол наклона осей по отношению к главной.

    Рисунок 11 — соответствие осей и психологических кругов

    Система музыкальной композиции Шиллингера была встречена резкой критикой за псевдонаучность, отсутствие внятных математических обоснований, и слишком сложный, непостоянный и сбивчивый стиль изложения. Однако именно эта работа определила направления многих будущих научных исследований в области алгоритмического сочинения музыки (например, изучение музыки как нелинейной системы стихийного характера), и вернула интерес к сфере, забытой на несколько веков.

    ♦ ИСТОЧНИКИ: ♦

  • Шибаршин Алексей – Музыкальная академия Шиллингера – Режим доступа: http://www.youtube.com/user/ashibarshin/featured
  • Focussing the musical imagination: exploring in composition the ideas and techniques of Joseph Schillinger - JEREMY ARDEN – PhD Thessis - The Department of Music City University, London November 1996, с. 15-52
  • Bruno Degazio - The Schillinger System of Musical Composition and Contemporary Computerговори – 1988, с. 126-129
  • Harry Lyden - The Schillinger System of Musical Composition – 2004 – с. 1-4
  • Schillinger. J. (1978). The Schillinger system of musical composition (New York: Da Capo Press), с. 1411